Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>квадрата<i> ABCD </i>взяты точки<i> K </i>и<i> H </i>соответственно, причём<i> KC=</i>2<i>KB </i>и<i> HC=HD </i>. Докажите равенство углов<i> AKB </i>и<i> AKH </i>.

Трапеция с основаниями<i> a </i>и<i> b </i>описана около окружности радиуса<i> R </i>. Докажите, что<i> ab <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115671/problem_115671_img_2.gif"> </i>4<i>R</i>2.

Периметр треугольника равен 100 см, а площадь равна 100 см<i> </i>2. Три прямые, проведённые параллельно сторонам треугольника на расстоянии 1 см от них, разбивают треугольник на семь частей, три из которых — параллелограммы. Докажите, что сумма площадей параллелограммов меньше 25 см<i> </i>2.

Длины сторон выпуклого четырёхугольника не больше 7. Докажите, что четыре круга с радиусами 5 и центрами в вершинах четырёхугольника полностью покрывают четырёхугольник.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>, диагонали которого пересекаются в точке <i>O</i>, равны между собой углы <i>BAC</i> и <i>CBD</i>, а также углы <i>BCA</i> и <i>CDB</i>. Докажите, что касательные, проведённые из точек <i>B</i> и <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>AOD</i>, равны.

Окружность с центром <i>O</i> касается сторон угла в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через произвольную точку <i>M</i> отрезка <i>AB</i>, отличную от точек <i>A</i> и <i>B</i>, проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>OM</i> и пересекающая стороны угла в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Докажите, что  <i>MC = MD</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>ABD</i> равен 65°, угол <i>CBD</i> равен 35°, угол <i>ADC</i> равен 130°, и  <i>AB = BC</i>.  Найдите углы четырёхугольника <i>ABCD</i>.

В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115664/problem_115664_img_2.gif"> ACB = </i>25<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115664/problem_115664_img_2.gif"> ACD = </i>40<i>^o </i>и<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115664/problem_115664_img_2.gif"> BAD = </i>115<i>^o </i>. Найдите угол<i> ADB </i>.

В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115663/problem_115663_img_2.gif"> BCD = </i>80<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115663/problem_115663_img_2.gif"> ACB = </i>50<i>^o </i>и<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115663/problem_115663_img_2.gif"> ABD = </i>30<i>^o </i>. Найдите угол<i> ADB </i>.

Точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>последовательно расположены на окружности. Известно, что градусные меры меньших дуг<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CD </i>и<i> AD </i>относятся как 1:3:5:6. Найдите углы четырёхугольника<i> ABCD </i>.

Окружность описана около равностороннего треугольника<i> ABC </i>. На дуге<i> BC </i>, не содержащей точку<i> A </i>, расположена точка<i> M </i>, делящая градусную меру этой дуги в отношении 1:2. Найдите углы треугольника<i> AMB </i>.

Серединные перпендикуляры к сторонам<i> BC </i>и<i> AC </i>остроугольного треугольника<i> ABC </i>пересекают прямые<i> AC </i>и<i> BC </i>в точках<i> M </i>и<i> N </i>. Пусть точка<i> C </i>движется по описанной окружности треугольника<i> ABC </i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно<i> AB </i>(при этом точки<i> A </i>и<i> B </i>неподвижны). Докажите, что прямая<i> MN </i>касается фиксированной окружности.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> I </i>— центр вписанной окружности. Точки<i> M </i>и<i> N </i>— середины сторон<i> BC </i>и<i> AC </i>соответственно. Известно, что угол<i> AIN </i>прямой. Докажите, что угол<i> BIM </i>— также прямой.

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взята такая точка <i>P</i>, что  ∠<i>PBA</i> = ∠<i>PCD</i> = 90°.  Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>, причём  <i>BM = CM</i>.

Докажите, что  ∠<i>PAB</i> = ∠<i>PDC</i>.

Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями  <i>AD = a</i>  и  <i>BC = b</i>.  Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.

На стороне<i> AB </i>прямоугольника<i> ABCD </i>выбрана точка<i> M </i>. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой<i> CM </i>, который пересекает сторону<i> AD </i>в точке<i> E </i>. Точка<i> P </i>— основание перпендикуляра, опущенного из точки<i> M </i>на прямую<i> CE </i>. Найдите угол<i> APB </i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что  <i>BO = BP</i>.

Найдите отношение  <i>OM</i> : <i>PC</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>K</i>, лежащая на биссектрисе угла <i>BAC</i>. Прямая <i>CK</i> вторично пересекает описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>Ω</i> проходит через точку <i>A</i>, касается прямой <i>CM</i> в точке <i>K</i> и пересекает вторично отрезок <i>AB</i> в точке <i>P</i>, а окружность ω – в точке <i>Q</i>. Докажите, что точки <i>P, Q</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой.

Через центр <i>O</i> окружности, описанной около неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, проведены прямые, перпендикулярные сторонам <i>AB</i> и <i>AC</i>. Эти прямые пересекают высоту <i>AD</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>S</i> – центр описанной окружности треугольника <i>OPQ</i>. Докажите, что  ∠<i>BAS</i> = ∠<i>CAM</i>.

Прямые, касающиеся окружности Ω в точках <i>A</i> и <i>B</i>, пересекаются в точке <i>O</i>. Точка <i>I</i> – центр Ω. На меньшей дуге <i>AB</i> окружности Ω выбрана точка <i>C</i>, отличная от середины дуги. Прямые <i>AC</i> и <i>OB</i> пересекаются в точке <i>D</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>OA</i> – в точке <i>E</i>. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ACE, BCD</i> и <i>OCI</i> лежат на одной прямой.

Диагонали трапеции <i>ABCD</i> с основаниями  <i>AD</i> = 3  и  <i>BC</i> = 1  пересекаются в точке <i>O</i>. Две окружности, пересекающие основание <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, касаются друг друга в точке <i>O</i>, а прямой <i>AD</i> – в точках <i>A</i> и <i>D</i> соответственно. Найдите  <i>AK</i>² + <i>DL</i>².

Четырёхугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность с диметром<i> AC </i>. Точки<i> K </i>и<i> M </i>— проекции вершин<i> A </i>и<i> C </i>соответственно на прямую<i> BD </i>. Через точку<i> K </i>проведена прямая, параллельная<i> BC </i>и пересекающая<i> AC </i>в точке<i> P </i>. Докажите, что угол<i> KPM </i>— прямой.

Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Может ли его гипотенуза увеличиться более, чем на<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115647/problem_115647_img_2.gif"> </i>?