Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: трапеция, описанная около окружности

Пусть окружность с центром O касается оснований AB и CD трапеции ABCD в точках P и Q соответственно, а боковой стороны AD — в точке K . Обозначим AP=x , BP = y . Тогда x+y=a . Лучи AO и DO — биссектрисы внутренних односторонних углов BAD и ADC при параллельных прямых AB и CD и секущей AD , поэтому AOD=90^o . Радиус OK — высота прямоугольного треугольника AOD , проведённая из вершины прямого угла, поэтому OK2=DK· AK , значит,

DQ=DK = ==.

Аналогично, CQ= , поэтому

b=CD=DQ+CQ=+= R2(+).

Следовательно,

ab = (x+y)· R2(+)= R2(++2) R2(2+2)=4R2.

Что и требовалось доказать (здесь мы воспользовались известным неравенством + 2).

Ответ задачи отсутствует