Окружность, четырёхугольник и прямой угол: олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E , а точка P расположена между C и E . Тогда

PKD = CBD = CAD = PAD,

значит, из точек K и A , лежащих по одну сторону от прямой PD , отрезок PD виден под одним и тем же углом, поэтому точки A , K , P и D лежат на одной окружности, а т.к. AK BD , то AD — диаметр этой окружности, значит, CPD = APD = 90^o . Из точек P и M отрезок CD виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CD . Тогда

MPA = 180^o- CPM = CDM = CDB = CAB,

поэтому PM || AB , а т.к. PK || BC и AB BC , то PM PK , что и требовалось доказать. Аналогично для случая, когда точка P расположена между A и E .

Ответ задачи отсутствует