Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: Диагонали трапеции и круги
Задача
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 1 пересекаются в точке O. Две окружности, пересекающие основание BC в точках K и L соответственно, касаются друг друга в точке O, а прямой AD – в точках A и D соответственно. Найдите AK² + DL².
Решение
По теореме об угле между касательной и хордой ∠AKO = ∠OAD = ∠ACK, поэтому треугольники AKO и ACK подобны по двум углам, значит,
AK : AC = AO : AK, откуда AK² = AC·AO. Аналогично DL² = BD·DO.
Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом 3, поэтому ACB = 4/3 AO и BD = 4/3 DO.
Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку O, пересекает основание AD в точке M. Тогда AM = MO = MD, значит,
∠AOD = 90°. Следовательно, AK² + DL² = AC·AO + BD·DO = 4/3 AO² + 4/3 DO² = 4/3 AD² = 12.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь