Олимпиадная задача по планиметрии 8-9 класс: площади параллелограммов в треугольнике

Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: параллелограммы в треугольнике

Задача

Периметр треугольника равен 100 см, а площадь равна 100 см 2. Три прямые, проведённые параллельно сторонам треугольника на расстоянии 1 см от них, разбивают треугольник на семь частей, три из которых — параллелограммы. Докажите, что сумма площадей параллелограммов меньше 25 см 2.

Решение

Пусть T — треугольник, вершины которого — точки пересечения проведённых прямых, I — центр окружности радиуса r , вписанной в данный треугольник, S — площадь данного треугольника, p — его полупериметр. Тогда r= = =2. Расстояния от точки I до проведённых прямых равно 1 см, поэтому при гомотетии с центром I и коэффициентом данный треугольник перейдёт в треугольник T , значит, площадь треугольника T равна четверти площади данного треугольника, т.к. 25 см 2. Через точку I проведём прямые, параллельные сторонам данного треугольника. Они разобъют треугольник T на три треугольника и три параллелограмма. Суммарная площадь параллелограммов меньше площади треугольника T , т.е. меньше 25 см 2. Осталось заметить что эти параллелограммы соответственно равны параллелограммам, о которых говорится в условии задачи (если углы одного параллелограмма соответственно равны углам второго и две высоты одного из них соответственно равны двум высотам второго, то параллелограммы равны).