Олимпиадная задача по планиметрии: точки на одной прямой в треугольнике
Задача
Внутри треугольника ABC взята точка K, лежащая на биссектрисе угла BAC. Прямая CK вторично пересекает описанную окружность ω треугольника ABC в точке M. Окружность Ω проходит через точку A, касается прямой CM в точке K и пересекает вторично отрезок AB в точке P, а окружность ω – в точке Q. Докажите, что точки P, Q и M лежат на одной прямой.
Решение
Пусть окружность Ω вторично пересекает AC в точке R. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
∠MKP = ∠PAK = ∠RAK = ∠RPK, значит, PR || CM . Кроме того, ∠QMC = ∠QAC = ∠QAR = ∠QPR.
Итак, прямые QM и QP пересекают параллельные прямые MC и PR под одним углом (при этом лучи MC и PR сонаправлены), значит, прямые QM и QP совпадают.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь