Олимпиадная задача по планиметрии о трапеции и параллельных отрезках (8–9 класс)
Задача
Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
Решение
Диагонали AC и MN четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и при этом треугольники AMO и CNO равновелики, значит, MC || AN (из равенства площадей треугольников AMN и ACN следует равенство их высот, опущенных из вершин M и C).
Треугольники MCN и AND подобны, треугольники MBC и AMN также подобны, причём с тем же коэффициентом (CN : ND = MB : AM по теореме о пропорциональных отрезках). Поэтому подобны трапеции MBCN и AMND. Следовательно, BC : MN = MN : AD, то есть MN² = AD·BC = ab.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь