Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: центры описанных окружностей треугольников
Задача
Прямые, касающиеся окружности Ω в точках A и B, пересекаются в точке O. Точка I – центр Ω. На меньшей дуге AB окружности Ω выбрана точка C, отличная от середины дуги. Прямые AC и OB пересекаются в точке D, а прямые BC и OA – в точке E. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ACE, BCD и OCI лежат на одной прямой.
Решение
Обозначим ∠DAB = α, ∠ABC = β. Предположим, что α < β. Заметим, что описанные окружности треугольников ACE и BCD пересекаются в двух точках (если бы они в точке C касались, то из гомотетичности треугольников ACE и DBC следовало бы, что AE || BD).
Пусть M – вторая общая точка описанных окружностей треугольников ACE и DBC. Достаточно доказать, что четырёхугольник OCMI – вписанный (тогда центры трёх указанных в условии окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку CM).
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠OAC = β, ∠OBC = α.
Точки A и B лежат на окружности с диаметром OI. Поэтому ∠AIO = ∠ABO = ∠OBC + ∠ABC = α + β, а так как центральный угол AIC окружности Ω вдвое больше вписанного угла ABC, то ∠CIO = ∠AIC – ∠AIO = 2∠ABC – ∠AIO = 2β – (α + β) = β – α.
Четырёхугольники AECM и DBMC – вписанные, поэтому ∠BME = ∠BMC + ∠EMC = (180° – ∠BDC) + ∠EAD = ∠ODA + ∠DAO = 180° – ∠EOB. Значит, четырёхугольник EOBM – также вписанный и ∠OME = ∠OBE = α. Поэтому ∠CMO = ∠CME – ∠OME = ∠CAE – OBE = β – α = ∠CIO.
Следовательно, точки O, I, C и M лежат на одной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь