Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса — увеличение гипотенузы прямоугольного треугольника

Пусть x и y — катеты треугольника до увеличения. Тогда его гипотенуза равна , а после увеличения катетов стала равна . Предположим, что гипотенуза увеличилась более, чем на . Тогда

> + (x+1)2+(y+1)2>x2+y2+2+2

2x+2y > 2 2xy>x2+y2 0>(x-y)2,

что невозможно. Следовательно, гипотенуза не может увеличиться более, чем на .

Нет.