Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: углы в треугольнике ABC
Задача
Через центр O окружности, описанной около неравнобедренного треугольника ABC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам AB и AC. Эти прямые пересекают высоту AD треугольника ABC в точках P и Q. Точка M – середина стороны BC, а S – центр описанной окружности треугольника OPQ. Докажите, что ∠BAS = ∠CAM.
Решение
Стороны треугольника OPQ соответственно перпендикулярны сторонам треугольника ABC, значит, треугольники OPQ и ABC подобны с некоторым коэффициентом k.
При этом подобии радиус SO описанной окружности треугольника OPQ соответствует радиусу OA описанной окружности треугольника ABC, поэтому SO = kOA и SO ⊥ OA.
Высота OH треугольника OPQ соответствует высоте AD треугольника ABC, поэтому MD = OH = kAD. Следовательно, прямоугольные треугольники AOS и ADM подобны, поэтому ∠OAS = ∠DAM.
Заметим, что ∠OAB = 90° – ½ ∠AOB = 90° – ∠C = ∠CAD. Следовательно, BAS = ∠OAB + ∠OAS = ∠CAD + ∠DAM = ∠CAM.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь