Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: медианы и высоты в неравнобедренном треугольнике

  Пусть AA', BB' и CC'– медианы неравнобедренного треугольника ABC, а AA", BB" и CC" – его высоты, причём  BB" = AA'  и  CC" = BB'.  Предположим, что  AB < AC < BC.

  Если P – проекция точки A' на прямую AC, то A'P – средняя линия прямоугольного треугольника CBB", поэтому  A'P = ½ BB" = AA',  значит, ∠B'AA' = 30°.  Аналогично  ∠ABB' = 30°.

  Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим  MA' = x.  Тогда  AA' = 3x.  Треугольники A'MB' и A'B'A подобны по двум углам, так как  ∠A'B'M = ∠ABB' = 30° = ∠A'AB',  а угол при вершине A' – общий, значит,  A'B' : AA' = A'M : A'B',  то есть  A'B'² = A'M·AA' = 3x².

  Обозначим  MB' = y.  По теореме косинусов   MA'² = MB'² + A'B'² – 2MB'·A'B' cos 30°,  x² = y² + 3x² – 3xy,  (y – x)(y – 2x) = 0.

  Если  y = x,  то треугольник A'MB' – равнобедренный, поэтому треугольник ABC – также равнобедренный, что противоречит условию.

  При  y = 2x  получим, что треугольник A'MB' – прямоугольный,  ∠MA'B' = 90°,  значит, подобный ему с коэффициентом 2 треугольник AMB – также прямоугольный,  MC' = ⅓ CC' – его медиана. По теореме Пифагора  MC'² = AM² + AC² = 4x² + 3x² = 7x²,  A'B² = AB² + AA'² = 12x² + 9x² = 21x²,  а так как

AB·AA' = A'B·AA",  то  AA''² = (^AB·AA'/_A'B)² = ^36x²/₇.

  Следовательно,  СС' : AA" = 3MС' : AA" = 7 : 2.

3,5.