Олимпиадная задача по планиметрии: центр вписанной окружности и середины сторон

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис, поэтому луч AI — биссектриса угла BAC . Обозначим IAN = IAB = α . Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC ,

ANM = 180^o- NAB = 180^o-2α,

а т.к. AIN = 90^o , то

ANI = 90^o- IAN = 90^o-α= ANM,

т.е. луч NI — биссектриса угла ANM . Следовательно, точка I равноудалена от прямых AB , AC , BC и MN , значит, I — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ANMB . Тогда MI — биссектриса угла BMN , а т.к. BI — биссектриса угла ABM , то BIM = 90^o (как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует