Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите высоту.
Отношение радиусов окружностей<i> S</i>1и<i> S</i>2, касающихся в точке<i> B </i>, равно<i> k </i>(<i> k></i>1). Из точки<i> A </i>, лежащей на окружности<i> S</i>1, проведена прямая, касающаяся окружности<i> S</i>2в точке<i> C </i>. Найдите<i> AC </i>, если известно, что хорда, высекаемая окружностью<i> S</i>2на прямой<i> AB </i>, равна<i> b </i>.
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.
Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.
Диагонали выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> M </i>. Пусть<i> P </i>и<i> Q </i>— центры окружностей, описанных вокруг треугольников<i> ABM </i>и<i> CDM </i>. Докажите, что<i> AB+CD < </i>4<i>PQ </i>
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны соответственно точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что ∠<i>AXY</i> = 2∠<i>C</i>, ∠<i>CYX</i> = 2∠<i>A</i>.
Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115693/problem_115693_img_2.gif">
Две окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Окружность, проходящая через точки <i>O</i><sub>1</sub>, <i>B</i> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекает вторую окружность также и в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>O</i><sub>1</sub>, <i>A</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>B</i> – прямой, а диагональ <i>AC</i> является биссектрисой угла <i>A</i> и равна стороне <i>AD</i>. В треугольнике <i>ADC</i> провели высоту <i>DH</i>. Докажите, что прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i> пополам.
Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?
Внутри треугольника<i> ABC </i>взята точка<i> M </i>, для которой<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115689/problem_115689_img_2.gif"> BMC = </i>90<i><sup>o</sup>+ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115689/problem_115689_img_3.gif"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115689/problem_115689_img_2.gif"> BAC </i>, а прямая<i> AM </i>содержит центр окружности, описанной около треугольника<i> BMC </i>. Докажите, что<i> M </i>— центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>.
Хорды<i> XK </i>и<i> XM </i>окружности делят её диаметр<i> AB </i>на три равные части. Докажите, что5<i>KM <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115688/problem_115688_img_2.gif"> </i>3<i>AB </i>.
Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>
На стороне<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> X </i>. Докажите, что если вписанные окружности треугольников<i> ABX </i>и<i> BCX </i>касаются друг друга, то точка<i> X </i>лежит на окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.
В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>диагонали<i> AC </i>и<i> BD </i>пересекаются в точке<i> O </i>. Точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>лежат на сторонах<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CD </i>и<i> AD </i>соответственно, причём точка<i> O </i>лежит на отрезках<i> KM </i>и<i> LN </i>и делит их пополам. Докажите, что<i> ABCD </i>— параллелограмм.
В квадрате<i> ABCD </i>на сторонах<i> AB </i>и<i> CD </i>взяты точки<i> M </i>и<i> N </i>. Отрезки<i> CM </i>и<i> BN </i>пересекаются в точке<i> P </i>, а отрезки<i> AN </i>и<i> DM </i>— в точке<i> Q </i>. Докажите, что<i> PQ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115684/problem_115684_img_2.gif"> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115684/problem_115684_img_3.gif">AB </i>.
Прямая, содержащая сторону <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, симметрично отражается относительно прямых <i>AB</i> и <i>BC</i>. Две полученные прямые пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>BK</i> проходит через центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> построены внешним образом квадраты <i>ABDE</i> и <i>BCPG</i>. Оказалось, что прямая <i>DG</i> параллельна прямой <i>AC</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> – равнобедренный.
<i> BB</i>1и<i> CC</i>1— высоты остроугольного треугольника<i> ABC </i>с углом<i> A </i>, равным30<i><sup>o</sup> </i>;<i> B</i>2и<i> C</i>2— середины сторон<i> AC </i>и<i> AB </i>соответственно. Докажите, что отрезки<i> B</i>1<i>C</i>2и<i> B</i>2<i>C</i>1перпендикулярны.
Диагонали вписанного четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что <center><i>
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_2.gif">+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_3.gif">+ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_4.gif">+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_5.gif"> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_6.gif"> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115680/problem_115680_img_7.gi...
В остроугольном треугольнике<i> ABC </i>угол<i> B </i>равен60<i><sup>o</sup> </i>, а высоты<i> CE </i>и<i> AD </i>пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>лежит на общей биссектрисе углов<i> AOE </i>и<i> COD </i>.
В точках<i> A </i>и<i> B </i>пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть<i> M </i>— произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки<i> AM </i>и<i> BM </i>до пересечения в точках<i> X </i>и<i> Y </i>с окружностью, содержащей<i> M </i>внутри себя. Докажите, что<i> XY </i>— диаметр этой окружности.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub> делят на три равные части сторону <i>AC</i>, а точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> – сторону <i>BC</i>.
Докажите, что если углы <i>A</i><sub>1</sub><i>BA</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>AB</i><sub>2</sub> равны, то треугольник <i>ABC</i> равнобедренный.
Имеется инструмент для геометрических построений на плоскости ("угольник"), позволяющий делать следующее: а) если даны две точки, то можно провести проходящую через них прямую; б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить перпендикуляр к этой прямой в данной точке. Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>, делят его на четыре четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что<i> ABCD </i>— параллелограмм.