Олимпиадная задача по планиметрии: диаметр окружности через точки пересечения касательных
Задача
В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.
Решение
Пусть точка M лежит на окружности с центром O' , а точки X и Y — на окружности с центром O . Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, поэтому
MO'B=2 MAB, MO'A = 2 MBA,
AO'B = 2( MAB+ MBA) =
2( XAB+ YBA).
По условию углы OBO' и OAO' равны по90o , значит,
AOB = 180o- AO'B =
180o -2( XAB+ YBA),
XOY = XOB + YOA + AOB =
2 XAB+2 YBA+ AOB =180o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь