Олимпиадная задача по планиметрии: вписанная окружность в четырёхугольник, 8–9 класс

Пусть AC=5— диагональ данного четырёхугольника ABCD , O — центр вписанной в четырёхугольник окружности. Центр окружности, вписанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла, поэтому треугольники ABC и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначим AB=AD=x , BC=CD=y , ABC=α . Тогда

x+y=7, xy sin α = 6, xy=, x2+y2-2xy cos α = 25,

x2+y2-2xy cos α = (x+y)2-2xy-2xy cos α = 49-2xy(1+ cos α)=25, xy=.

Из равенства = следует, что1+ cos α = sin α . После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение cos α(1+ cos α)=0, а т.к.0<α<180^o , то α=90^o . Таким образом

Из этой системы находим, что x=3, y=4или x=4, y=3, а площадь треугольника ABC равна 6. Точки A и C равноудалены от концов отрезка BD , значит, AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD . Из равенства AC· BD= 12(площадь четырёхугольника ABCD ) находим, что

BD===.

, 3, 4, 3, 4.