Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность в треугольнике ABC

Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность отрезков в остроугольном треугольнике ABC, 8-9 класс

Задача

BB1и CC1— высоты остроугольного треугольника ABC с углом A , равным30^o ; B2и C2— середины сторон AC и AB соответственно. Докажите, что отрезки B1C2и B2C1перпендикулярны.

Решение

В прямоугольном треугольнике ABB1катет BB1лежит против угла в30^o , значит, BB1= AB = BC2, поэтому треугольник BB1C2— равнобедренный, а т.к. B1BC2=90^o-30^o= 60^o , то он равносторонний. Аналогично, треугольник СC1B2— равносторонний. Пусть отрезки B1C2и B2C1пересекаются в точке O . В четырёхугольнике AB2OC2известно, что

B2AC2=30^o, AB2O=180^o- CB2C1 = 180^o-60^o=120^o, AC2O = 180^o- BC2B1=120^o,

следовательно,

B2OC2 = 360^o-30^o-120^o- 120^o = 90^o.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться

Комментариев нет

Олимпиадная задача по планиметрии: перпендикулярность отрезков в остроугольном треугольнике ABC, 8-9 класс

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления