Олимпиадная задача: Медиана и высота прямоугольного треугольника — найти катеты

  Пусть  CM = 5  и  CH = 4  – медиана и высота прямоугольного треугольника ABC, проведённые из вершины прямого угла. По теореме Пифагора

MH = 3.

  Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому  BM= 5.  Предположим, что AC > BC.  Тогда точкаHлежит между точкамиBиM, поэтому  BH = BM – MH= 2, AH = AM + MH= 8.   Следовательно,  BC² =BH·AB= 20,  AC² =AH·AB= 80.