Олимпиадная задача по планиметрии: точка M и центр вписанной окружности треугольника

Пусть M' — центр вписанной окружности треугольника ABC . Тогда BM' и CM' — биссектрисы углов B и C тругольника ABC , поэтому

BM'C = 180^o-( M'BC + M'CB)= 180^o-( ABC+ ACB)=

=180^o-(180^o- BAC)= 90^o+ BAC = BMC,

значит, точки M' , M , B и C лежат на одной окружности, т.е. точка M' лежит на описанной окружности треугольника BMC . Пусть прямая AM' вторично пересекает эту окружность в точке K . Обозначим углы треугольника ABC через α , β , γ соответственно. Тогда

CKM'= CBM'=, CM'K= M'AC+ M'CA=+ ,

поэтому

KCM'=180^o- CM'K- CKM'= 180^o-(+)- =

=180^o-= 180^o-90^o=90^o,

следовательно, M'K — диаметр окружности. Таким образом, точка M' лежит и на описанной окружности треугольника BMC , и на прямой, проходящей через точку A и центр этой окружности, значит, точки M' и M совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует