Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: точки, отрезки и пересечения в квадрате
Задача
В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты
точки M и N . Отрезки CM и BN пересекаются
в точке P , а отрезки AN и DM — в точке Q .
Докажите, что PQ 
AB .
Решение
Пусть прямая, проходящая через точку P параллельно AB ,
пересекает отрезки BC и MN в точках P' и P" соответственно.
Тогда отрезок P'P" проходит через точку пересечения
диагоналей трапеции BMNC и параллелен её основаниям,
значит, P — середина P'P" , а т.к. P'P" 
(BM+CN), то PP' 
(BM+CN)
Аналогично, если прямая, проходящая через точку Q параллельно AB ,
пересекает отрезки MN и AD в точках Q' и Q" соответственно, то QQ' (AM+DN). Тогда
PP'+QQ' (BM+CN)+(AM+DN)=
(BM+AM+CN+DN)=(AB+CD)=AB,
AB , то
PQ AB - PP'-QQ' =AB -AB=
AB.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь