Олимпиадная задача: Параллелограмм в выпуклом четырёхугольнике (Планиметрия, 8-9 класс)
Задача
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Решение
Предположим, например, что OC>OA . Тогда при симметрии относительно
точки O точка A перейдёт в точку, лежащую на отрезке OC . Если при этом OB 
OD , то вершина B перейдёт в
точку, лежащую на отрезке OD , значит, точка M перейдёт
в точку, лежащую внутри треугольника COD , что невозможно,
т.к. точка M симметрична точке K относительно O .
Если же OB>OD , то аналогично рассмотрим образ треугольника AOD при симметрии относительно точки O .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь