Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: центр описанной окружности и биссектрисы

Обозначим BC=a , AB=c . Предположим, что a>c . Пусть F и G — проекции центра S описанной окружности треугольника ABC на стороны OD и OC угла DOC . Докажем, что SF=SG . Отсюда будет следовать, что OS — биссектриса этого угла. Действительно, пусть X и Y — проекции точки S на стороны BC и AB соответственно. Тогда X и Y — середины этих сторон, а DXSF и EYSG — прямоугольники, поэтому

SF=DX=BX-BD=BX-AB cos 60^o=-,

SG=EY=BE-BY=BC cos 60^o-BE=-,

значит, SF=SG . Что и требовалось доказать.

Предположим, что BC>AB . Докажем сначала, что общая биссектриса l углов AOE и COD перпендикулярна биссектрисе угла B . Действительно, если биссектриса угла B пересекает высоту AD и прямую l в точках P и Q соответственно, то

POQ = DOC = 30^o= PBD,

значит, острые углы прямоугольного треугольника PBD соответственно равны двум углам треугольника POQ . Следовательно, OQP = 90^o , что и требовалось доказать. Докажем теперь, что биссектриса угла B перпендикулярна прямой, проходящей через точку O пересечения высот треугольника ABC и центр S описанной окружности этого треугольника. Для этого воспользуемся двумя известными фактами: SBC = ABO и OB = 2SM , где M — середина стороны AC . Из первого следует, что биссектриса угла ABC является также биссектрисой угла OBS , а из второго — BS = SC = 2SM = BO (т.к. MSC = 60^o ), т.е. треугольник OBS — равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершины B , является высотой. Таким образом, проходящие через точку O прямые OS и l перпендикулярны биссектрисе угла B , значит, они совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует