Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренность треугольника ABC, 8-9 класс

  Можно считать, что точка A₁ лежит между A и A₂, а BA₁ – между B и B₂. Прямая A₁B₁ параллельна стороне AB, так как  CA₁ : CA = CB₁ : CB = 2 : 3.  Аналогично A₂B₂ || AB.

  Пусть M и N – середины отрезков AB₂ и BA₂ соответственно. Тогда MA₁ и NB₁ – средние линии треугольников AA₂B₂ и BA₂B₂, поэтому

MA₁ || A₂B₂ || AB  и  NB₁ || A₂B₂ || AB,  значит, точки A₁, M, N и B₁ лежат на одной прямой.

  Отрезок MB₁ – средняя линия треугольника ABB₂, поэтому  MB₁ = ½ AB.  Аналогично  NA₁ = ½ AB,  значит,  MB₁ = NA₁.  Треугольники AMB₁ и BNA₁ равны по стороне  (MB₁ = NA₁),  противолежащему углу  (∠MAB₁ = ∠NBA₁)  и высоте, проведённой из вершины этого угла  (AB || A₁B₁),  поэтому

AB₁ = BA₁.  Диагонали AB₁ и BA₁ трапеции AA₁B₁B равны, значит, эта трапеция равнобедренная. Следовательно, и треугольник ABC равнобедренный.

Ответ задачи отсутствует