Максимальная площадь четырёхугольника с заданными сторонами — олимпиадная задача по планиметрии

Рассмотрим четырёхугольник, две соседние стороны которого равны 1 и 8. Тогда две другие соседние стороны равны 4 и 7. Если стороны, равные 1 и 8 противоположны, то проведём диагональ и отбразим относительно её серединного перпендикуляра один из полученых треугольников. Тогда стороны, равные 1 и 8 будут соседними, а площадь четырёхугольника не изменится. Пусть S — площадь данного четырёхугольника, α — угол между соседними сторонами, равными 1 и 8, а β — угол между соседними сторонами, равными 4 и 7. Тогда

Докжем теперь, что при данных условиях существует четырёхугольник, площадь которого равна 18. Действительно, поскольку12+82=42+72, условию задачи удовлетворяет четырёхугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 8 и 4, 7 и общей гипотенузой, равной .