Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство параллелограмма в восьмом и девятом классах
Задача
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , делят его на четыре четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Решение
Пусть K , L , M и N — середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD , O — точка
пересечения отрезков KM и LN . Тогда KL и MN — средние
линии треугольников ABC и ADC , значит, KL=
AC =
MN и KL|| AC || MN , поэтому KLMN —
параллелограмм. Его диагонали KM и LN делятся точкой
пересечения O пополам, т.е. KO=OM и LO=ON .
Из равенства периметров четырёхугольников OKBL и OMCL следует,
что BK=CM , поэтому AB=2BK=2CM=CD . Аналогично, BC=AD .
Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь