Олимпиадная задача по планиметрии: Хорды делят диаметр на три равные части, 8-9 класс

Пусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.1). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α , CX=x , DX=y . Тогда радиус окружности равен . По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α . По формуле для медианы треугольника4OX2=2CX2+2DX2-CD2, или4· a2=2x2+2y2-a2, откуда находим, что x2+y2=5a2, поэтому

x2y2 ()2= ()2=a4,

причём равенство достигается, если x=y , т.е. когда точка X совпадает с серединой дуги AB . По теореме косинусов

cos α = = == = ,

значит, максимальное значение α равно arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае,

sin α = , KM = AB sin α=3a· =a, 5KM = 9a = 3AB.

В остальных случаях5KM < 3AB .

Пусть O — центр окружности, а хорды XK и XM пересекают диаметр AB в точках C и D соответственно (рис.2). Обозначим, AC=CD=BD=a , CXD = KXM = α . Тогда радиус окружности равен . По теореме синусов KM = AB sin KXM = 3a sin α , а т.к. угол MXK острый, то хорда KM тем больше, чем больше α . Опишем окружность около треугольника CDX0. Для любой отличной от X0точки рассматриваемой дуги AB данной окружности CXD < AX0D , т.к. точка X лежит вне описанной окружности треугольника CDX0. Следовательно, максимальное значение α равно2 arctg = arccos и достигается, когда X — середина дуги AB . В этом случае,

sin α = , KM = AB sin α=3a· =a, 5KM = 9a = 3AB.

В остальных случаях5KM < 3AB .

Ответ задачи отсутствует