Олимпиадная задача по планиметрии: отражение прямых в остроугольном треугольнике ABC
Задача
Прямая, содержащая сторону AC остроугольного треугольника ABC, симметрично отражается относительно прямых AB и BC. Две полученные прямые пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Биссектрисы внешних углов при вершинах A и C треугольника AKC пересекаются в точке B, значит, KB – биссектриса угла AKC. Далее можно рассуждать по разному. Первый способ. Обозначим ∠A = α, ∠C = γ. Тогда ∠CAK = 180° – 2α, ∠ACK = 180° – 2γ, ∠AKC = 180° – (180° – 2α) – (180° – 2γ) = 2α + 2γ – 180°.
∠AKB = ½ ∠AKC = α + γ – 90°, ∠ABK = 180° – ∠AKB – ∠BAK = 180° – (α + γ – 90°) – (180° – α) = 90° – γ.
Но и ∠ABO = 90° – γ. Следовательно, точка O лежит на луче BK. Второй способ. (Е. Аникин) Пусть прямая, проходящая через вершину B, пересекается с прямыми AK и CK в точках M и N соответственно. Тогда ∠ABM = ∠CAB = ∠BAM, ∠CBN = ∠ACB = ∠BCN, значит, треугольники ABM и CBN – равнобедренные. Их высоты, проведённые из вершин M и N, являются серединными перпендикулярами к сторонам AB и BC треугольника ABC, а значит, пересекаются в точке O.
С другой стороны, MO и NO – биссектрисы треугольника AKC, поэтому его третья биссектриса KB проходит через точку O их пересечения.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь