Задача № 215702
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 215701
Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите высоту.
Задача № 215697
Отношение радиусов окружностей S1и S2, касающихся в точке B , равно k ( k>1). Из точки A , лежащей на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2в точке C . Найдите AC , если известно, что хорда, высекаемая окружностью S2на прямой AB , равна b .
Задача № 215696
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.
Задача № 215695
Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.
Задача № 215694
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M . Пусть P и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ
Задача № 215693
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки X и Y так, что ∠AXY = 2∠C, ∠CYX = 2∠A. Докажите неравенство
Задача № 215692
Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Окружность, проходящая через точки O1, B и O2 пересекает вторую окружность также и в точке P. Докажите, что точки O1, A и P лежат на одной прямой.
Задача № 215691
В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол B – прямой, а диагональ AC является биссектрисой угла A и равна стороне AD. В треугольнике ADC провели высоту DH. Докажите, что прямая BH делит отрезок CD пополам.
Задача № 215690
Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?
Задача № 215689
Внутри треугольника ABC взята точка M , для которой BMC = 90o+ BAC , а прямая AM содержит центр окружности, описанной около треугольника BMC . Докажите, что M — центр вписанной окружности треугольника ABC .
Задача № 215688
Хорды XK и XM окружности делят её диаметр AB на три равные части. Докажите, что5KM 3AB .
Задача № 215687
Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.). Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?
Задача № 215686
На стороне AC треугольника ABC выбрана точка X . Докажите, что если вписанные окружности треугольников ABX и BCX касаются друг друга, то точка X лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC .
Задача № 215685
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Задача № 215684
В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты точки M и N . Отрезки CM и BN пересекаются в точке P , а отрезки AN и DM — в точке Q . Докажите, что PQ AB .
Задача № 215683
Прямая, содержащая сторону AC остроугольного треугольника ABC, симметрично отражается относительно прямых AB и BC. Две полученные прямые пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.
Задача № 215682
На сторонах AB и BC треугольника ABC построены внешним образом квадраты ABDE и BCPG. Оказалось, что прямая DG параллельна прямой AC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Задача № 215681
BB1и CC1— высоты остроугольного треугольника ABC с углом A , равным30o ; B2и C2— середины сторон AC и AB соответственно. Докажите, что отрезки B1C2и B2C1перпендикулярны.
Задача № 215680
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O . Докажите, что ++ + +++ .
Задача № 215679
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен60o , а высоты CE и AD пересекаются в точке O . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на общей биссектрисе углов AOE и COD .
Задача № 215678
В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.
Задача № 215677
Дан треугольник ABC. Точки A1 и A2 делят на три равные части сторону AC, а точки B1 и B2 – сторону BC. Докажите, что если углы A1BA2 и B1AB2 равны, то треугольник ABC равнобедренный.
Задача № 215676
Имеется инструмент для геометрических построений на плоскости ("угольник"), позволяющий делать следующее: а) если даны две точки, то можно провести проходящую через них прямую; б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить перпендикуляр к этой прямой в данной точке. Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
Задача № 215675
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , делят его на четыре четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
201–225 из 7538