Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Пусть точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>лежат на окружности, а прямая<i> b </i>касается этой окружности в точке<i> B </i>. Из точки<i> P </i>, лежащей на прямой<i> b </i>, опущены перпендикуляры<i> PA</i>1и<i> PC</i>1на прямые<i> AB </i>и<i> BC </i>соответственно (точки<i> A</i>1и<i> C</i>1лежат на отрезках<i> AB </i>и<i> BC </i>). Докажите, что<i> A</i>1<i>C</i>1<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115645/problem_115645_img_2.gif"> AC </i>.

В треугольнике<i> ABC </i>проведены биссектрисы<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>, пересекающиеся в точке<i> I </i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i> AD </i>пересекает прямые<i> BE </i>и<i> CF </i>в точках<i> M </i>и<i> N </i>. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> I </i>,<i> M </i>и<i> N </i>лежат на одной окружности.

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i>^o </i>. Пусть<i> BB</i>1и<i> CC</i>1— биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине<i> A </i>относительно прямой<i> B</i>1<i>C</i>1, лежит на стороне<i> BC </i>.

<i> AA</i>1— высота остроугольного треугольника<i> ABC </i>,<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>. Найдите<i> OH </i>, если известно, что<i> AH=</i>3,<i> A</i>1<i>H=</i>2, а радиус окружности равен 4.

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> AC=<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115641/problem_115641_img_2.gif"> </i>. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i> ABC </i>, середины сторон<i> AB </i>и<i> BC </i>и вершина<i> B </i>лежат на одной окружности.

На сторонах<i> BC </i>и<i> AD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>построены внешним образом квадраты<i> BCPQ </i>и<i> ADKM </i>. Найдите расстояние между их центрами, если<i> BC = BD = </i>6,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115640/problem_115640_img_2.gif"> ABC = </i>97<i>,</i>5<i>^o </i>.

Точки <i>D</i> и <i>E</i> расположены на стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>BD</i> и <i>BE</i> разбивают медиану <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> на три равных отрезка.

Найдите площадь треугольника <i>BDE</i>, если площадь треугольника <i>ABC</i> равна 1.

В треугольник <i>ABC</i> со сторонами  <i>AB</i> = 18  и  <i>BC</i> = 12  вписан параллелограмм <i>BKLM</i>, причём точки <i>K, L</i> и <i>M</i> лежат на сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет ⁴/₉ площади треугольника <i>ABC</i>. Найдите стороны параллелограмма.

На сторонах<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>, площадь которого равна 75, расположены точки<i> M </i>,<i> N </i>и<i> K </i>соответственно. Известно, что<i> M </i>— середина<i> AB </i>, площадь треугольника<i> BMN </i>равна 15, а площадь треугольника<i> AMK </i>равна 25. Найдите площадь треугольника<i> CNK </i>.

Окружность<i> S </i>с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности<i> S </i>, если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12.

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.

Найдите радиус окружности, касающейся двух концентрических окружностей радиусов 3 и 5.

Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции, касается большей боковой стороны, равной <i>a</i>.

Найдите среднюю линию трапеции.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются в точке <i>Q</i> под прямым углом. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Известно, что  <i>BC</i> = 5,  <i>AD</i> = 10,  <i>BQ</i> = 3.  Найдите <i>AP</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BM</i> и <i>CN, O</i> – центр вписанной окружности. Известно, что  <i>BC</i> = 24,  <i>MN</i> = 12.

Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>BOC</i>.

В угол вписаны касающиеся внешним образом окружности радиусов <i>r</i> и <i>R</i>  (<i>r < R</i>).  Первая из них касается сторон угла в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Найдите <i>AB</i>.

Точка <i>M</i> лежит на боковой стороне <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i>, причём  <i>BM = BC</i>.  Найдите <i>MC</i>, если  <i>BC</i> = 1  и  <i>AB</i> = 2.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведены диаметры <i>AC</i> и <i>AD</i> этих окружностей.

Найдите расстояние между центрами окружностей, если  <i>BC = a</i>  и  <i>BD = b</i>.

Точка пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, вершина<i> A </i>и середины сторон<i> AB </i>и<i> AC </i>лежат на одной окружности. Найдите медиану, проведённую из вершины<i> A </i>, если<i> BC=a </i>.

Две окружности касаются внешним образом в точке<i> C </i>. Прямая касается первой окружности в точке<i> A </i>, а второй — в точке<i> B </i>. Прямая<i> AC </i>пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, отличной от<i> C </i>. Найдите<i> BC </i>, если<i> AC=</i>9,<i> CD=</i>4.

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах диагоналей и в серединах оснований трапеции, если её боковые стороны равны<i> a </i>и<i> b </i>.

Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны<i> a </i>и<i> b </i>. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.