Олимпиадная задача по планиметрии: радиус окружности треугольника BOC

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: радиус окружности в треугольнике BOC

Задача

В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12.

Найдите радиус описанной окружности треугольника BOC.

Решение

Точки M и N лежат на окружности с диаметром BC.

Пусть угол A – острый (рис. слева). Треугольник AMN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия cos∠A = ^MN/_BC = ½. Значит, ∠A = 60°, а ∠BOC = 120° (см. задачу 155448).

По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника BOC равен

Пусть теперь уголA– тупой (рис. справа). Тогда cos∠CAN= ½. Значит, ∠CAN= 60°, ∠A= 120°, ∠BOC= 150°. Поэтому радиус описанной окружности треугольникаBOCравен

= 24.