Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: площадь четырёхугольника
Задача
Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны a и b . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Решение
Пусть K , L , M и N середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD с диагоналями AC=a и BD=b , причём AC 
BD .
Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC , поэтому KL || AC , KL=
AC , MN || AC , MN=AC . Две противоположные
стороны четырёхугольника KLMN равны и параллельны, значит,
это параллелограмм, а т.к. его стороны
соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD ,
то KLMN — прямоугольник. Его площадь равна
произведению соседних сторон, причём KL=AC и LM = BD . Следовательно,
SKLMN=KL· LM = AC· BD=
a· b=
ab.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь