Олимпиадная задача по планиметрии: медианы треугольника и окружность (8-9 класс)

Пусть K , P и Q — середины сторон BC , AC и AB соответственно, M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

Обозначим MK=x . Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому AM=2x .

Отрезок PQ — средняя линия треугольника ABC , поэтому PQ || BC , значит,

BPQ = CBP= KBM.

Точки A , P , M и Q лежат на окружности, поэтому

KAB= MAQ = MPQ = BPQ= KBM.

Треугольники KAB и KBM подобны по двум углам (угол при вершине K — общий), значит, = , или = , откуда находим, что x= . Следовательно,

AK=3x = 3· = .

.