Олимпиадная задача по планиметрии: две касающиеся окружности

Олимпиадная задача по планиметрии: две касающиеся окружности и отрезки (8-9 класс)

Задача

Две окружности касаются внешним образом в точке C . Прямая касается первой окружности в точке A , а второй — в точке B . Прямая AC пересекает вторую окружность в точке D , отличной от C . Найдите BC , если AC=9, CD=4.

Решение

Пусть общая касательная к окружностям, проходящая через точку C , пересекает отрезок AB в точке M . Тогда MA=MC=MB , т.е. медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB , значит, ACB = 90^o . Смежный с углом ACB угол BCD также равен90^o , поэтому BD — диаметр второй окружности, а т.к. AB — касательная к этой окружности, то BD AB . В прямоугольном треугольнике ABD отрезок BC — высота, опущенная на гипотенузу, следовательно,