Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние между точками касания окружностей в угле

  Пусть меньшая окружность с центром O₁ касается сторон угла с вершиной O в точках A и B, большая окружность с центром O₂ касается луча OA в точке C, а меньшей окружности – в точке K.

  Опустим перпендикулярO₁Fиз центра меньшей окружности на радиусO₂Cбольшей окружности. По теореме Пифагора  O₁F² = (R + r)² – (R – r)² = 4rR.   Пусть лучOO₁(биссектриса углаAOB) пересекает отрезокABв точкеD. Прямоугольные треугольникиAO₁DиO₁O₂Fподобны, значит, AD:O₁F = AO₁:O₁O₂,  или  =,  откуда  AB= 2AD=.

.