Олимпиадная задача по планиметрии: отрезок через середину в треугольнике 8-9 класс

Олимпиадная задача по планиметрии: длина отрезка в равнобедренном треугольнике класс 8-9

Задача

Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.

Решение

Пусть AB=AC=18— боковые стороны равнобедренного треугольника ABC с основанием BC=12, M — середина AB . Обозначим BAC=α , ABC=β . По теореме косинусов

cos α = = .

Если D — середина основания BC , то

cos β===.

Прямая, о которой говорится в условии задачи, отсекает от данного треугольника треугольник MAN , площадь которого равна третьей части площади треугольника ABC . Точка N лежит либо на боковой стороне AC (рис.1), либо на основании BC (рис.2). В первом из этих случаев