Олимпиадная задача по планиметрии: окружности и точки треугольника ABC

Пусть BK — биссектриса треугольника ABC . Обозначим AB=c , BC=a . Тогда AC= . По свойству биссектрисы треугольника

==,

значит, AK= и CK= . Пусть M и N — середины сторон соответственно AB и BC треугольника ABC , O — центр его описанной окружности, I — центр вписанной окружности. Обозначим углы при вершинах A , B и C треугольника ABC через α , β и γ соответственно. Центр описанной окружности треугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, поэтому OM AB и ON BC . Из точек M и N отрезок OB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности S1с диаметром OB . Центр вписанной окружности треугольника есть точка пересечения биссектрис, поэтому AI — биссектриса угла BAC , а BI — биссектриса угла ABC . Тругольники AMI и AKI равны по двум сторонам и углу между ними ( AM=AK= , MAI = KAI = ). Следовательно,

MIK = 2 AIK = 2( BAI+ ABI)= 2(+)=α+β,

значит,

BIM = 180^o- MIK = 180^o-α-β= γ.

Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC , поэтому MN || AC , значит, BNM = ACB = γ = BIM . Таким образом, из точек N и I , лежащих по одну сторону от прямой BM , отрезок BM виден под одним и тем же углом, значит, точки B , M , I и N лежат на одной окружности S2. Поскольку через точки B , M и N , не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, окружности S1и S2совпадают. Следовательно, точки B , M , N , O и I лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует