Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние между центрами окружностей

  Пусть O₁ – центр окружности с диаметром AC, O₂ – центр окружности с диаметром AD. Точка B лежит на окружности с диаметром AC, поэтому

∠ABC = 90°.  Аналогично  ∠ABD = 90°.

  Рассмотрим случай, когда точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB (рис. слева). Тогда  ∠CBD = 180°,  значит, точки C, B и D лежат на одной прямой, причём точка B лежит между C и D. Поэтому  CD = BC + BD = a + b,  а так как O₁O₂ – средняя линия треугольника ACD, то

O₁O₂ = ½ (a + b).

  Пусть теперь точкиCиDлежат по одну сторону от прямойABи  a > b  (рис. справа). Тогда точкиB, CиDлежат на одной прямой, причём точкаCлежит междуBиD. Следовательно,  O₁O₂= ½CD= ½ (a – b).   Аналогично для случая  a < b.

½ (a + b)  или  ½ |a – b|.