Олимпиадная задача по планиметрии: радиус окружности в прямоугольном треугольнике

Пусть окружность S с центром в вершине C прямого угла прямоугольного треугольника ABC с катетами AC=12, BC=5и гипотенузой AB=13в точке K касается внешним образом вписанной окружности этого треугольника (рис.1). Пусть O — центр вписанной окружности данного треугольника, M — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом BC . Тогда

OM=(AC+BC-AB) = (12+5-13)=2.

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому OC= CK+OK , OCM =45^o , т.к. CO —биссектриса угла ACB . Из прямоугольного тругольника OCM находим, что OC=OM=2 , а т.к. OK=OM , то2=2+CK . Следовательно, CK=2-2, т.е. радиус окружности S равен2-2. Если окружность S касается вписанной окружности данного треугольника внутренним образом (рис.2), то аналогично найдём, что радиус окружности S равен2+2.

2( 1).