Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: площадь треугольника BDE

  Пусть прямые AD и AE пересекают медиану AM в точках K и L соответственно, причём точка K лежит между A и L, AK = KL = LM.  Ясно, что L – точка пересечения медиан треугольника, поэтому BE – также медиана. Через вершину A проведём прямую, параллельную стороне BC, до пересечения с прямой BD в точке P. Треугольник AKP подобен треугольнику MKB с коэффициентом  ^AK/_KM = ½,  поэтому  AP = ½ BM = ¼ BC.  Треугольник ADP подобен треугольнику CDB, значит,  AD : DC = AP : BC = 1 : 4,  поэтому  AD = ⅕ AC,  DE = AE – AD = ½ AC – ⅕ AC = ³/₁₀ AC.

  Следовательно,  S_BDE = ³/₁₀ S_ABC.

0,3.