Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: найти AP в описанном четырёхугольнике

Задача 215631 • Сложность: 2 • 8-9 класс
Задача

Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются в точке Q под прямым углом. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что  BC = 5,  AD = 10,  BQ = 3.  Найдите AP.

Разделы:
Планиметрия
Источники:
Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru) Интернет-ресурсы
Количество версий:
5
Решение

  Из прямоугольного треугольника BQC находим, что  CQ = 4.

  Прямоугольные треугольники AQD и BQC подобны с коэффициентом  AD/BC = 2,  поэтому  AQ = 6,  DQ = 8.  По теореме Пифагора

AB² = BQ² + AQ² = 45.

  SABCD = ½ AC·BD = 55,  SABC = ½ AC·BQ = 15.

  Треугольник BPC подобен треугольнику DPA по двум углам с коэффициентом подобия  BC/AD = ½,  значит,  SABCD = ¾ SAPD = 3 SBPC,  откуда

AР : AB = (SABC + SAPD) : SABC = (45 + 55) : 45 = 20 : 9,  то есть  

Ответ

.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет