Олимпиадная задача по планиметрии: симметрия вершины треугольника, 8-9 класс

Пусть I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC , а прямая, проходящая через вершину A перпендикулярно B1C1, пересекает прямые B1C1и BC в точках K и M соответственно. Обозначим через β и γ углы при вершинах соответственно B и C треугольника ABC . Тогда

β +γ = 120^o, + = 60^o, B1IC1 = BIC = 90^o+ BAC = 90^o+30^o= 120^o,

значит, четырёхугольник AB1IC1— вписанный, а т.к. I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC , то AI — биссектриса угла B1AC1. Следовательно,

IB1=IC1, IC1B1= IB1C1=30^o.

По теореме о внешнем угле треугольника

AC1B1= ABB1+ IB1C1= +30^o,

поэтому

C1AM= BAM = C1AK = 90^o- AC1B1= 90^o-(+30^o)= 60^o-== MCC1.

Из точек A и C , лежащих по одну сторону от прямой MC1, отрезок MC1виден под одним и тем же углом , значит, точки A , C , M и C1лежат на одной окружности, а т.к. CC1— биссектриса вписанного угла ACM , то C1A=C1M , поэтому треугольник AC1M — равнобедренный. Его высота C1K является медианой, следовательно, точка M симметрична точке A относительно прямой B1C1. Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует