Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника с точками касания

Пусть окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC касается катетов AC=4и BC=3в точках K и L соответственно, а гипотенузы AB — в точке M . Тогда

5=AB = AM+BM= AK+BL = (AC-CK)+(BC-CL)= 4-CK+3-CK=7-2CK,

откуда находим, что CK=1и CL=CK=1. Аналогично находим, что AK=AM= 3и BL=BM=2, поэтому

S_{Δ KCL}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=,

S_{Δ MBL}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=,

S_{Δ AMK}=· · S_{Δ ABC}= · · · 3· 4=.

Следовательно,

S_{Δ KLM}= S_{Δ ABC}-S_{Δ KCL}-S_{Δ MBL}- S_{Δ AMK}= 6---=.

.