Олимпиадная задача по планиметрии: доказательство равенства отрезков в окружности
Задача
Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P ,
лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA1и PC1на прямые AB и BC соответственно (точки A1и C1лежат на отрезках AB и BC ). Докажите,
что A1C1 
AC .
Решение
Из точек A1и C1отрезок BP виден под прямым углом,
значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BP .
Вписанные в это окружность углы A1C1P и A1BP опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
A1C1P = A1BP .
Обозначим A1C1P = A1BP = α .
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,
что
ACB = ABP= A1BP = α.
A1C1C = 180o- BC1A1 =
BPA1=90o- A1BP = 90o-α.
Следовательно,
AСC1+ A1C1C= ACB+ A1C1C=
α + 90o-α = 90o,
AC .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь