Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»

Нижним основанием призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной2<i>a </i>. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной<i> AB </i>и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус шара, проходящего через вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> A</i>1,<i> C</i>1равен2<i>a </i>. Найдите объём призмы. (Найдите все решения).

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости сечения<i> AD</i>1<i>C </i>, делит площадь грани<i> AA</i>1<i>D</i>1<i>D </i>на две равные части. Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде с боковыми рёбрами<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1сторона верхнего основания<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро<i> B</i>1<i>C</i>1перпендикулярно к плоскости<i> AD</i>1<i>C </i>, делит пирамиду на две части равного объёма. Найдите объём пирамиды.

Сторона<i> BC </i>основания четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>и медианы<i> BM </i>и<i> CN </i>граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>лежат в одной плоскости. Вершина конуса совпадает с вершиной<i> S </i>пирамиды, а окружность основания конуса вписана в четырёхугольник<i> BMNC </i>и касается стороны<i> BC </i>в её середине. Точки касания этой окружности с отрезками<i> BM </i>и<i> CN </i>являются точками пересечения медиан граней<i> SAB </i>и<i> SDC </i>. Найдите отношение объёма конуса к объёму пирамиды.

Даны такие точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, что отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>E</i>. Отрезок <i>AE</i> на 1 см короче, чем отрезок <i>AB,  AE = DC,  AD = BE</i>,

∠<i>ADC</i> = ∠<i>DEC</i>.  Найдите длину <i>EC</i>.

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – середина стороны <i>AB</i>, точка <i>M</i> лежит на стороне <i>BC</i>, причём  <i>BM</i> : <i>MC</i> = 1 : 3.  На стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>P</i> так, что периметр треугольника <i>PKM</i> – наименьший из возможных. В каком отношении точка <i>P</i> делит сторону <i>AC</i>?

В окружности с центром <i> O </i> проведены три равные хорды <i>AB, CD</i> и <i>PQ</i> (см. рисунок). Докажите, что угол <i>MOK</i> равен половине угла <i>BLD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111601/problem_111601_img_2.gif"></div>

Точки <i>A', B'</i> и <i>C'</i> – середины сторон соответственно <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, а <i>BH</i> – его высота. Докажите, что если описанные окружности треугольников <i>AHC'</i> и <i>CHA'</i> окружности проходят через точку <i>M</i>, то  ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBB'</i>.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность с центром <i>O, X</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>ABC</i>, для которой  ∠<i>XAB</i> = ∠<i>XBC</i> = φ,  а <i>P</i> – такая точка, что  <i>PX</i> ⊥ <i>OX</i>,  ∠<i>XOP</i> = φ,  причём углы <i>XOP</i> и <i>XAB</i> одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки <i>P</i> лежат на одной прямой.

Отрезки <i>AB</i> и <i>CD</i> не параллельны и не пересекаются. Точка <i>P</i> лежит на отрезке <i>AB</i>, а точка <i>Q</i> – на отрезке <i>CD</i>. Точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> – середины отрезков <i>AQ, BQ, CP</i> и <i>DP</i> соответственно. Докажите, что отрезки <i>KL, MN</i> и <i>PQ</i> пересекаются в одной точке.

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>прямого двугранного угла. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>. Через эту точку проведена прямая, пересекающая сферу<i> S</i>1в точке<i> B </i>, касающаяся сферы<i> S</i>2в точке<i> C </i>и пересекающая грань<i> Q </i>в точке<i> D </i>. Прямая<i> AD </i>составляет с гранью<i> P </i>угол30<i>^o </i>. Найдите отношение<i> AB:BC:CD </i>.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 1. Длина каждого из боковых рёбер<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна<i> <img src="/storage/problem-media/111593/problem_111593_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точки<i> A </i>,<i> A</i>1,<i> D </i>лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна диагонали<i> BD</i>1параллелепипеда. Найдите радиус цилиндра.

Основанием пирамиды<i> ABCD </i>является правильный треугольник<i> ABC </i>со стороной 12. Ребро<i> BD </i>перпендикулярно плоскости основания и равно10<i><img src="/storage/problem-media/111592/problem_111592_img_2.gif"> </i>. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро<i> BD </i>и плоскость<i> ABC </i>. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Сторона основания<i> ABC </i>правильной призмы<i> ABCA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1равна 1, а каждое из боковых рёбер имеет длину<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_2.gif"> </i>. Прямой круговой цилиндр расположен так, что точка<i> A</i>1и середина<i> M </i>ребра<i> CC</i>1лежат на его боковой поверхности, а ось цилиндра параллельна прямой<i> AB</i>1и отстоит от неё на расстоянии<i> <img src="/storage/problem-media/111591/problem_111591_img_3.gif"> </i>. Найдите радиус цилиндра.

Основанием прямого параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1является квадрат<i> ABCD </i>со стороной 4, а длина каждого бокового ребра<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1равна 6. Прямой круговой цилиндр расположен так, что его ось лежит в плоскости<i> BB</i>1<i>D</i>1<i>D </i>, а точки<i> A</i>1,<i> C</i>1,<i> B</i>1и центр<i> O </i>квадрата<i> ABCD </i>лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус цилиндра (найдите все решения).

Две равные сферы<i> S</i>1и<i> S</i>2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней<i> P </i>и<i> Q </i>двугранного угла величины2<i>α </i>. Сфера<i> S</i>1касается грани<i> P </i>в точке<i> A </i>, а сфера<i> S</i>2касается грани<i> Q </i>в точке<i> B </i>. В каком отношении отрезок<i> AB </i>делится сферами?

В пирамиде<i> MNPQ </i>плоские углы<i> QMN </i>,<i> MNP </i>,<i> NPQ </i>– прямые. Вершины<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах<i> MP </i>,<i> NP </i>,<i> NQ </i>,<i> PQ </i>пирамиды<i> MNPQ </i>. Ребро<i> AB </i>параллельно ребру<i> MN </i>. Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра<i> ABCD </i>и пирамиды<i> MNPQ </i>

Сторона основания<i> MNP </i>правильной пирамиды<i> MNPQ </i>равна 5. Основанием правильной пирамиды<i> SABCD </i>является квадрат<i> ABCD </i>. Все вершины пирамиды<i> SABCD </i>расположены на рёбрах пирамиды<i> MNPQ </i>, причём вершина<i> S </i>лежит на ребре<i> QM </i>и<i> MS=<img src="/storage/problem-media/111587/problem_111587_img_2.gif">MQ </i>. Найдите объём пирамиды<i> SABCD </i>.

В пирамиде<i> ABCD </i>плоские углы<i> DAB </i>,<i> ABC </i>,<i> BCD </i>– прямые. Вершины<i> M </i>,<i> N </i>,<i> P </i>,<i> Q </i>правильного тетраэдра расположены соответственно на рёбрах<i> AC </i>,<i> BC </i>,<i> AB </i>,<i> BD </i>пирамиды<i> ABCD </i>. Ребро<i> MN </i>параллельно ребру<i> AB </i>. Найдите отношение объёмов правильного тетраэдра<i> MNPQ </i>и пирамиды<i> ABCD </i>

В пирамиде<i> ABCD </i>длина каждого из рёбер<i> AB </i>и<i> CD </i>равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды<i> ABCD </i>.

В треугольник<i> ABC </i>с прямым углом<i> C </i>вписана окружность, касающаяся сторон<i> AC </i>,<i> BC </i>и<i> AB </i>в точках<i> M </i>,<i> K </i>и<i> N </i>соответственно. Через точку<i> K </i>провели прямую, перпендикулярную отрезку<i> MN </i>. Она пересекла катет<i> AC </i>в точке<i> X </i>. Докажите, что<i> CK=AX </i>.

Точка<i> M </i>лежит на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABM </i>, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ACM </i>. Может ли отрезок<i> AM </i>оказаться медианой треугольника<i> ABC </i>?

Сторону<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>продолжили за вершину<i> B </i>и выбрали на луче<i> AB </i>точку<i> A</i>1так, что точка<i> B </i>– середина отрезка<i> AA</i>1. Сторону<i> BC </i>продолжили за вершину<i> C </i>и отметили на продолжении точку<i> B</i>1так, что<i> C </i>– середина отрезка<i> BB</i>1. Аналогично, продолжили сторону<i> CA </i>за вершину<i> A </i>и отметили на продолжении точку<i> C</i>1так, что<i> A </i>– середина<i> CC</i>1. Найдите площадь треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, если площадь треугольника<i> A</i>1&l...

В выпуклом пятиугольнике<i> ABCDE </i>извествно, что<i> <img src="/storage/problem-media/111580/problem_111580_img_2.gif"> A = <img src="/storage/problem-media/111580/problem_111580_img_2.gif"> B = <img src="/storage/problem-media/111580/problem_111580_img_2.gif"> D= </i>90<i>^o </i>. Найдите угол<i> ADB </i>, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.