Олимпиадная задача по планиметрии: наименьший периметр треугольника PKM в равностороннем треугольнике
Задача
Дан равносторонний треугольник ABC. Точка K – середина стороны AB, точка M лежит на стороне BC, причём BM : MC = 1 : 3. На стороне AC выбрана точка P так, что периметр треугольника PKM – наименьший из возможных. В каком отношении точка P делит сторону AC?
Решение
Поскольку сторона KM треугольника ABC фиксирована, необходимо найти на стороне AC такую точку P, чтобы сумма KP + PM была наименьшей из возможных. Пусть M' – точка, симметричная точке M относительно прямой AC. Согласно задаче 155557 точка пересечения отрезка KM' со стороной AC – искомая точка P.
Пусть сторона треугольника ABC равна 4a. Тогда CM = 3a и AK = 2a. Точка M' симметрична точке M относительно прямой AC, поэтому
CM' = CM = 3a, а так как ∠ACM' = ∠C = 60° = ∠KAP, то треугольник AKP подобен треугольнику CM'P по двум углам. Следовательно,
AP : PC = AK : CM' = 2 : 3.
Ответ
2 : 3.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь