Олимпиадная задача по стереометрии: цилиндр и параллелепипед в 10-11 классе

1. Предположим, что ось l цилиндра пересекает прямую OB1в некоторой точке K (рис.1), а прямую BB1– в точке F . Пусть A2, B2, C2и O2– проекции точек соответственно A , B , C и O на прямую l . Тогда точка A2совпадает с точкой C2, а т.к. точки O и B1равноудалены от оси цилиндра, то B1B2=OO2=R (где R – искомый радиус цилиндра), значит, точка K – середина отрезка OB1.

Через точку K проведём прямую, параллельную BD . Пусть эта прямая пересекает рёбра BB1и DD1в точках N и M соответственно. Тогда N и M – середины этих рёбер. Обозначим FKN = α , B1KN=β . Будем считать, что α <90^o и β < 90^o .

Отрезок KN – средняя линия треугольника OBB1, поэтому

KN = OB=· BD = · 4=.

Из прямоугольных треугольников KB1N и KB1B2находим, что

KB1 = = =, cos β = = , sin β = = ,

R=C1C2 = B1B2 = KB1 sin (α + β) = sin (α + β)= ( sin α cos β + cos α sin β) =

=( sin α+ cos α)= sin α+3 cos α.

Пусть O1– центр квадрата A1B1C1D1, E – проекция точки O1на прямую B1B2. Прямая A1O1– перпендикулярна плоскости BB1D1D , а наклонная A1C2перпендикулярна прямой l , лежащей в этой плоскости, поэтому проекция O1C2наклонной A1C2также перпендикулярна прямой l , значит, O1C2 || B1B2, а т.к. O1E || l , то EO1B1 = NKB2 = α .

Из прямоугольного треугольника EO1B1находим, что

B1E = O1B1 sin α =2 sin α.

Тогда

O1C2 = EB2=B1B2-B1E = sin α+3 cos α-2 sin α= 3 cos α- sin α.

Тогда

C1C22 = O1C22+O1C12, ( sin α+3 cos α)2 = (3 cos α- sin α)2+8, 3 sin α cos α = ,

По предположению α < 90^o , поэтому sin α > 0и cos α >0. Возведём обе части полученного уравнения в квадрат:

9 sin2 α cos2 α = 2, 9 sin2 α (1- sin2 α) = 2,

9 sin 4 α -9 sin2 α +2 = 0, ( sin2 α -)( sin2 α -)=0,

откуда sin α = или sin α = .

В первом случае

R= sin α+3 cos α = · +3· = ,

во втором –

R= sin α+3 cos α = · +3· = 4.

2. Предположим, что ось l параллельна прямой OB1(рис.2). Тогда OB1– образующая цилиндра. Пусть A2, B2, C2и O2– проекции точек соответственно A , B , C и O на прямую l , O1– центр квадрата A1B1C1D1. Тогда точка A2совпадает с точкой C2, а т.к. точки O и B1равноудалены от оси цилиндра, то B1B2=OO2=R (где R – искомый радиус цилиндра), прямая O1C2перпендикулярна оси l цилиндра.

Если прямые O1C2и OB1пересекаются в точке E , то O1E OB1. Обозначим OO1E = BOB1 = β . Тогда

OB1 = = = 2, sin β = = = ,

O1E = OO1 cos β = 6, C2E=B1B2 =R, C2O1 = C2E-O1E = R-6.

Из прямоугольного треугольника C1OC2находим, что C1C22 =O1C22+O1C12, или

R2=(R-6)2 + 8,

откуда R= .

,4 , .