Олимпиадная задача по планиметрии: точки P на одной прямой в треугольнике ABC
Задача
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O, X – произвольная точка внутри треугольника ABC, для которой ∠XAB = ∠XBC = φ, а P – такая точка, что PX ⊥ OX, ∠XOP = φ, причём углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.
Решение
∠ABX = ∠B – φ, ∠BXA = 180° – (φ + ∠B – φ) = 180° – ∠B, значит, из всех таких точек X отрезок AB виден под одним и тем же углом, то есть все точки X лежат на дуге фиксированной окружности Ω, проходящей через вершины B и C.
Пусть Y – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BP. Точки X и Y лежат на окружности ω с диаметром OP. Вписанные в ω углы XOP и XYP равны, поэтому ∠XYB = ∠XYP = φ = ∠XAB. Значит, точка Y лежит на окружности, проходящей через точки A, B и X, то есть на окружности Ω. Кроме того, ∠OYB = 90°, поэтому точка Y лежит на окружности с диаметром OB. Следовательно, точка Y фиксирована, а точка P лежит на прямой, проходящей через фиксированные точки B и Y.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь