Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: вписанная окружность в пятиугольнике

Пусть O – центр окружности, вписанной в данный пятиугольник, K , L , M , N и T – точки касания окружности со сторонами AB , BC , CD , DE и AE соответственно. Тогда отрезки OK , OL , OM , ON и OT перпендикулярны соответствующим сторонами пятиугольника. Поскольку углы KBL , KAT и MDN – прямые, четырёхугольники BLOK , AKOT и DMON – равные квадраты, а отрезки OB , OA и OD равны как диагонали этих квадратов, поэтому точка O равноудалена от вершин треугольника ADB , т.е. является центром его описанной окружности. Угол ADB вписан в эту окружность, поэтому он равен половине соответствующего ему центрального угла AOB , а т.к.

45^o .