Олимпиадная задача по стереометрии: объём пирамиды с вписанной сферой

Пусть сфера с центром O касается граней ABC , ABD , BCD и ACD в точках P , Q , K и L соответственно. Поскольку все грани пирамиды равны между собой (равногранный тетраэдр), центры вписанной и описанной сфер совпадают, поэтому перпендикуляр, опущенный из точки O на грань пирамиды, проходит через центр описанной окружности этой грани, т.е. точки P , Q , K и L – центры описанных окружностей соответствующих граней пирамиды ABCD .

Заметим, что пирамида ABCD симметрична относительно плоскости, проходящей через прямую CD и середину M ребра AB . Значит, AB CD .

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC . Прямая CM – серединный перпендикуляр к стороне AB , значит, центр P описанной окружности этого треугольника лежит на CM . Из прямоугольного треугольника BMC находим, что

MC = = = , sin ABC = = .

Пусть R – радиус описанной окружности треугольника ABC . По теореме синусов

R= = = = .

Тогда

MP = MC-PC = MC-R = - = , MQ=MP =.

Из подобия равнобедренных треугольников MPQ и MCD находим, что

PQ = CD· = 4· = .

Аналогично находим, что KL = .

Пусть N – середина основания CD равнобедренного треугольника DMC , E и F – точки пересечения с отрезком MN отрезков PQ и KL соответственно. Тогда MN – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD , а значит, EF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PQ и KL . Далее имеем:

MN = = = 1, NF = ME = MN=,

EF = MN-ME-NF = 1-- = .

Пусть V – искомый объём пирамиды KLPQ . Прямые KL и PQ перпендикулярны, поскольку перпендикулярны параллельные им прямые AB и CD . Следовательно,

V=KL· PQ· EF· sin 90^o = · · · · 1 = .

.