Олимпиадная стереометрическая задача: отношение отрезков между сферами и гранями

Задача

Две равные сферы S1и S2касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней P и Q прямого двугранного угла. Сфера S1касается грани P в точке A . Через эту точку проведена прямая, пересекающая сферу S1в точке B , касающаяся сферы S2в точке C и пересекающая грань Q в точке D . Прямая AD составляет с гранью P угол30^o . Найдите отношение AB:BC:CD .

Решение

Пусть O1и O2– центры сфер S1и S2соответственно, R – радиусы сфер, E – точка касания сферы S2с плоскостью P , F – проекция точки C на грань P , G – проекция точки A на ребро данного двугранного угла. Из точки A проведены касательные AC и AE к сфере S2, поэтому AC=AE = 2R , а т.к. CAF = 30^o , то CF = AC = R .

Отрезки O1A и CF равны R и параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости грани P , поэтому AFCO1– прямоугольник, значит,

O1AB = 90^o- CAF = 90^o-30^o = 60^o.

В треугольнике AO1B известно, что O1A=O1B = R и BAO1 = 60^o , значит, этот треугольник равносторонний, поэтому AB=R . Следовательно, BC = AC-AB = 2R-R =R , а AB:BC=1:1.

Плоскость прямоугольника AO1O2E параллельна плоскости грани Q , поэтому прямая AD образует с плоскостью прямоугольника AO1O2E тот же угол α , что и с плоскостью грани Q .

Отрезки O2E и CF равны R и параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости грани P , поэтому CFEO2– прямоугольник (даже квадрат), значит, O2C CF , а т.к. O2C – радиус сферы S2, проведённый в точку касания этой сферы с прямой AC , то O2C AC . Таким образом, прямая O2C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости прямоугольника AO1CF , значит, прямая O2C перпендикулярна этой плоскости, в частности, O2C O1C , и треугольник O1CO2– прямоугольный.

Пусть CH – высота этого треугольника. Тогда CH O1O2и CH CF (т.к. CF – боковое ребро прямой призмы AFEO1O2C с основаниями AFE и O1O2C ), значит, CH – перпендикуляр к плоскости AO1O2E , поэтому AH – проекция наклонной AC на плоскость AO1O2E . Следовательно, CAH = α .