Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: доказательство о треугольнике и окружностях
Задача
Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота. Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.
Решение
Медиана HA' прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC, значит, треугольник CA'H – равнобедренный. ПустьO– центр описанной окружности Ωcэтого треугольника. Тогда OA'⊥HC || A'C'. Следовательно, прямаяA'C'касается Ωc. АналогичноA'C'касается описанной окружности Ωaравнобедренного треугольникаAC'H. Как известно, продолжение общей хордыMHокружностей Ωcи Ωaпересекает общую касательнуюA'C'этих окружностей в серединеSотрезкаA'C'(см. задачу152779). Заметим, что точкаSлежит на медианеBB'треугольникаABC. ЧетырёхугольникCA'MHвписан в окружность Ωc, поэтому ∠A'MH= 180° – ∠C. Аналогично ∠C'MH= 180° – ∠A. Значит, ∠A'MC'= ∠C+ ∠A= 180° – ∠B= 180° – ∠A'BC', поэтому четырёхугольникA'BC'M– вписанный, то есть описанная окружность ΩbтреугольникаA'BC'тоже проходит через точкуM. При симметрии относительно серединного перпендикуляраlк отрезкуA'C'окружность Ωbпереходит в себя. Так какHS– медиана прямоугольного треугольникаBHB', то треугольникHSB'– равнобедренный и его высота лежит на прямойl, поэтому прямыеSHиSB'также симметричны относительноl. Значит, точкаMпересечения прямойSHи окружности Ωbпри симметрии относительноlпереходит в точкуNпересечения прямойSB'(то есть прямойBB') и окружности Ωb. Следовательно, дугиC'MиA'Nэтой окружности, не содержащие точкиB, равны, а потому ∠ABM= ∠C'BM= ∠A'BN= ∠CBB'.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь